上一讲《博弈论与经济行为》收在一句实话上。
谈「理性行为」，作者说，还没有令人满意的处理。
其实还有一样东西被他按住了：效用。那一期他假设人要的就是钱，绕开了「你到底有多想要」。
这一讲他把手拿开，正面回答一件事：你说的「愿意」，可以量，是一个能算的数。
先从三杯饮料开始。作者的例子：一杯茶，一杯咖啡，一杯牛奶。
你偏好茶胜过咖啡，咖啡胜过牛奶。排序很清楚。
他接着问：咖啡比牛奶多出的那口喜欢，比茶比咖啡多出的那口，大还是小？
你答不上来。你只会说「更想要」，说不出「更」多少。
一、从「更想要」到一个数，中间隔着什么
「茶胜过咖啡」是排序。排序给方向，不给距离。
它答不出更基本的问题：同一个你身上，茶和咖啡这两个「喜欢」，能不能相加？
作者说，没有任何说得通的办法，把同一个人的两个效用加起来。所以「效用根本不是数」这个看法，反而显得有道理。
为什么不绕开它？因为绕开，后面就没法写了。
这本书后面要把你的选择写成数学，中间必须有一样东西，把「我喜欢甲胜过乙」翻译成「甲值七、乙值三」。
没有这一步，期望、和差，全都无从写起。
所以他的次序是：先证这个翻译做得通，再动用翻译。
凭什么说做得通？他借了一段科学史。
这非常像热理论刚起步的时候：这个东西摸起来比那个热，你也有感觉；热多少、热几倍，你说不出来。
热最后是怎么变成数的？不是一个数，是两个数：热量，和温度。
热量能直接相加：两桶水倒在一起，热量就是两份合起来。
温度不能这么加：两杯 50 度的水倒在一起，还是 50 度，不是 100 度。
为什么值得借这段历史？因为精确测量往往是理论的结果，不是前提。
反方说「效用测不了，所以不能数学化」。我看作者是用热学史把因果倒了过来：测不了，常常因为理论还没建好。
温度这条路走了很久：起初只知道「更暖」，温度只是到任意单调变换为止的数。
理想气体测温把它收窄到线性；热力学再定死绝对零度。
效用眼下只有一条「更想要」，停在最松的那一档。无差异曲线表达的正是这个立场。
真正的翻转来自一个动作：把概率放进来。
作者请你设想：任何想象的事，你都能说出偏好。现在加一条，带概率的组合也让你比。
还是那三杯饮料。咖啡，还是一杯由抛硬币决定、一半茶一半牛奶的饮料，你选哪个？
你对这个新问题的回答，携带了排序里没有的信息。
你偏好茶胜过咖啡，又偏好咖啡胜过牛奶。
这时候你若表态：咖啡胜过那杯一半茶一半牛奶的饮料——这句话有内容。
茶胜过咖啡的幅度，超过了咖啡胜过牛奶的幅度。
顺着这个动作走到底：找一个 0 到 1 之间的数，让「茶」对你来说，恰好和「以某个概率喝到咖啡、其余概率喝到牛奶」一样想要。
这个数，就是两个偏好的比值。
从排序跨到数值，跨出去的就是这一步。
同样的论证，欧几里得为直线上的点做过，经济学里帕累托先指出来。
概率这里他不含糊。既然要用它造数，就不能把它当成说不清的主观感觉。
最简单的办法：概率就是反复试验的长期频率。
脚注里留了退路：不接受这个解释，也可以把概率和偏好一起公理化。
二、这个数靠什么担保：三组公理，和作者自己标出的三处伤口
数造出来了，凭什么担保它不是文字游戏？
作者把这三条要求写成公理，往后每一步要用到数的地方，你都得认。
第一组，排得完：你面对任何两个效用，相等、你更想要、你更不想要，三者只居其一，而且不许绕圈。
第二组，排序和概率要配合：更想要的那个，掺进一点概率也还是更想要。
反过来，两个都不如中间那个时，只要给「更想要」的概率足够小，它掺进去就压不过中间那个。
第三组，混合的代数：先掺谁后掺谁无所谓；分两步掺，和一步到位，结果一样。
为什么非要钉死概率？因为既然用它造数，就得让它站在能重复观测的地面上。
作者也拒绝了帕累托的省事方案：靠「效用差相等」来收窄。理由是那条关系不能由可重复的观测解释。
他换成一个自然运算：以给定概率组合两个效用。这一步把「效用到数」的对应收窄到只差一个线性变换。
第二版新加的附录里，他把这句话兑现成证明：这样的对应存在，而且只差线性变换。
他还留了一句限定：绝对零点和绝对单位，不设。所以「效用是数」不等于「效用是钱」。
写到这，他自己停下来问：我们是不是证明得太多了？
数学期望从来就有争议。你身上会不会存在对「赌」这个动作本身的喜欢或厌恶，被期望忽略掉了？
他的回答不像辩解，像换了个说法：数值效用，就是期望演算成立的那个东西。
附录里给了实例：伯努利用对数定义效用，照样满足全部公理。「赌的特殊感觉」，被合适的定义吸收掉了。
然后是最值钱的部分：他在附录里把自己挨打的位置全标了出来。
第一处，完备性。人可能就是想让两个效用不可比。
作者自己说，把「全部可比」当成对现实的合适理想化，非常可疑。
第二处，「概率压小就压不过」那条。放弃它，等于引入无穷大的效用差，作者认为不划算。
第三处最关键：组合规则本身。赌的特殊效用，只有在「混合按这条简单规则来」被推翻时才可能存在。
要容纳它，得改公理，数学困难相当大。
他把这句话留在书里，说希望将来有人找到那条路。
1953 年，阿莱在《Econometrica》点名要批的，恰好就是这一路：效用公理，和那份附录。（书外）
他并不否认效用可以操作地定义。
他不接受的是另一件事：把「理性」定义成服从某套公理，再宣布推出的东西就是理性。
这样的定义，他说，没什么可讨论的。
这是我的判断：作者用定义换掉了一个经验问题，阿莱不接受的正是这个换法。
两人的分歧不在数学，在「理性」这个词由谁说了算。
到这里，效用是数了。可数一算出来，新问题跟着就来。
三、数都算出来了，什么才算一个站得住的答案
效用可测，往下走一步：同一个局面里，每一种「谁分多少」的分法，都能写成一组数，彼此比较。
于是问题换了：哪些分法算数？理论该交出什么样的答案？
作者先给朴素版本：给每个参与者一套规则，告诉你每种局面怎么走。
他马上堵住省事的路：只管「别人也都理性」不够。
要是有人偏离规则反而占便宜，守规矩的你吃亏，这套答案就说不圆。
所以规则必须对别人的任何行为都留有应对。
效用成了数，那本天文数字一样的规则目录，反倒能压成一句话：你按理性行为，能拿到多少。
把「能拿到的数」推广到多人，作者给它起了个名字，imputation：一组数，说清总收益在每个人之间怎么分。
如果答案就是单独一组数呢？那就是一个绝对均衡，你的份额被精确钉住。
作者说，这种答案一般并不存在，两人对分、你多我就少的简单局面才例外。
所以他放宽。三个人分一份总额，你随便拉一个人联手，就能占优。
问题变成，联盟内部怎么分。
这里有全章最活的一处细节：谈判的余地。
规则要是给了你太多，同伙可以退伙去和别人联手，自己拿得更多。
你宁愿让出一部分，保住这个联盟。
三种两人联盟，对应三组分法。作者由此定下形态：答案不是单独一组数，是一组分法构成的体系。
稳定性属于整体，不属于任何一员。
那两组分法怎么比好坏？不能像比大小那样。
作者立了个术语：支配。社会正在考虑接受分法乙，这时分法甲摆上桌。
只要足够多的人出于自身利益偏好甲，又相信甲的好处拿得到，甲就能否决乙。
麻烦来了：支配不传递。
甲被乙压过，乙被丙压过，丙反过来又被甲压过。这种事会发生。
为什么？因为每次「足够多的人」，可以是完全不相交的几批人。
前两批的结论，管不到第三批。
作者说，这看着恼人，其实是把社会里的老现象换个说法：各种集团，互相推翻彼此的位置。
我看这里失效的不是数学，是「谁说了算」本身随着结盟组合在变。
所以答案只能是一整个体系，不能是单独一组数。
作者最后给出的形态是：解，是一组分法的集合。两条要求。
集合里面，没有一组被同集合里的另一组压过；集合外面的每一组，都被集合里的某一组压过。
他随即自己拆台：这个定义不保证这样的集合存在，也不保证只有一个。
用他的话说，我们没有定义解，定义的是解的性质——把所有可能的解都刻画了出来。
然后他把这个抽象集合，接回你熟悉的东西：共同接受的行为标准。
一个社会面对既定的物质条件，调整的从来不是一套僵死的分法。
而是一族大体同调、细节互有出入的备选分法。这族分法，就是既定的社会秩序。
合起来是一句话：一套行为标准，一旦被普遍接受，它压得过其他一切。
而在它内部，没有任何部分能被推翻。这，就叫内在的稳定。
代价他也不遮：存在性不能让步，真找不到解，理论就得大改；唯一性不保。
同一片物质基础上，可以立起好几套各自稳定、彼此矛盾的标准。
他还划了界：他要找的不是「按某种先验原则，应当发生什么」，是「力量的均衡在哪里」。
最后三页全是保留清单。这套理论彻底是静态的；完整的答案不是一组分法，是全部解构成的集合。
至于将来的动态理论长什么样，作者的收束是一句实话。
在一个充满不确定与晦涩的题目上，这当然只是一个猜测。
上一讲收尾时说过，人数一多，变量的顺序就反过来。
这一讲把第二条线也接上了：人数一多，连「答案是哪一个」都不再只剩一个。
三种分法摆在桌上，三种都说自己站得住。书没说哪一种是对的。
——你说的「愿意」，值多少？
